为了用最小的箱子装最多的汽水,数学家们研究到了 24 维!|二维|三维
发布时间:2020-08-08 08:03:45  
6 英尺(≈182.88cm) 的社交距离,这是 数学家们研究了几个世纪 的问题。  球体填充似乎是 一个只有数学家们才会喜欢 的话题。也对,除了他们,还有谁会热衷于找到平面排列圆形或者空间中放置球体 的最有效方法呢?  但是 现在,全世界有几百万 的人都在思考这个特别 的问题。  如何在保持社交距离下重新开放公共空间和场所,这在一定程度上是 一道几何问题:如果每个人都与其他人保持 6 英尺 的距离,那么一个教室或者餐厅可以坐多少人?本质就是 算一个平面内可以填充多少个不重合 的圆形 的问题。  这个几何问题不仅仅是 当前疫情所面对 的问题,在化学中模拟晶体结构和在信息论中抽象 的信息空间都涉及到了这个圆形和球体填充 的问题。这个问题听起来很简单,但是 却一直困扰着历史上一些伟大 的数学家们,甚至今天,关于这个问题 的一些激动人心 的研究还在继续,特别是 在高维空间上。比如说,数学家们最近证明了将球体封装到 8 到 24 维空间 的最佳方法,这个方法是 优化手机中纠错码或空间探测器通讯 的必需技术。所以,当我们研究用最简单 的形状填充空间时,会出现怎样令人惊讶 的复杂情况?  二 维  如果你 的任务是 将橘子合理地放到盒子里或者在保持社交距离 的情况下让学生入座,那么你所要安排 的容器 的大小和形状就变成了问题 的关键。但是 对于绝大部分 的数学家们来说,球体填空理论是 填充在整个空间 的。在二维空间上,这代表利用同样大小 的圆,不重叠地覆盖在平面上。  这里有一个在平面上放置圆形 的例子,可能会让你想起一箱汽水罐 的俯视图:  可以想象,沿着各个方向按照这个模式不断重复 的过程,就像铺设平面 的瓷砖。圆圈之间 的小 的间隙代表着平面并不是 完全被覆盖,对于圆形 的瓷砖,这是 可以预想到 的结果。同时,我们关心平面 的覆盖率,也就是 平面覆盖 的百分比,这里也被称为排列 的“堆积密度”。  以上 的排列被称为“方形堆积”( square packing),原因是 :可以将圆 的圆心想象为正方形 的顶点。  事实上,这些正方形本身就铺贴为平面。  铺设 的“瓷砖”对称性 的性质将会简化这项工作。因为这些正方形 的瓷砖可以用一种规则 的方式覆盖整个平面,所以平面被圆形覆盖 的百分比等于任意一个被圆覆盖 的正方形 的百分比。所以,让我们进一步看看这些方块。  假设每个圆 的半径为r,这意味着正方形 的边长为2r。正方形 的四个顶点中 的每一个都被一个四分之一圆覆盖,因此每个正方形被圆覆盖 的比例就是 一个整圆 的面积与一个正方形 的面积之比:  每个正方形大概有 78.54% 的面积被圆覆盖,所以根据我们 的平铺理论,整个平面大概有 78.54% 被圆形覆盖。这就是 方形堆积 的堆积密度。(这里半径 r 从结果中消失了,这代表无论圆有多大,正方形都将会包含四个四分圆。)  现在,如果你曾尝试将汽水罐 的侧面如下图这样放置,看着它们按照这个排列滑进罐与罐 的缝隙之间,你会发现另外一种打包 的方式。  利用跟上文类似 的方法,将圆 的中心想象为正六边形 的顶点。  我们称之为“六方堆积”( hexagonal packing),这种排列似乎比方形堆积更有效地填补了空白。为了验证这一点,让我们比较一下它们 的堆积密度。就像正方形一样,六边形平铺在平面上,所以我们可以通过分析单个六边形来确定这种排列 的堆积密度。  这个六边形被圆覆盖 的比例是 多少?因为六边形 的内角是 120°,所以它 的每个角上都有三分之一个圆,因此整个六边形包含两个完整 的圆,加上中间 的一个一共是 三个圆。如果每个圆 的半径为 r,则总面积为 3πr²。  该怎么跟六边形 的面积比较呢?边长为 s 的正六边形实际上是 六个边长为 s 的正三角形,每个三角形 的面积是 ,所以六边形 的面积为 。在这里,六边形 的边长为 2r,因此它 的面积为:  所以,六边形被圆覆盖 的面积百分比为(用三个圆 的面积除以六边形 的面积):  每个六边形大概有 90.69% 被圆覆盖,这样看起来比最密堆积空间利用率更高。(这里和我们预期 的一样,结果中同样不包含圆 的半径。)但是 事实上,没有哪种排列是 更有效 的。  这一点 的证明并不是 一件容易 的事情。一些著名 的数学家比如约瑟夫·拉格朗日和卡尔·弗里德里希·高斯在18世纪末和19世纪初就开始研究这项工作,但直到20世纪40年代,所有可能 的排列——规则 的和不规则 的——都被严格考虑之后,这个问题才被彻底解决。在很容易可视化 的二维维度上,这个问题已经耗费了很长时间,这警示了了我们更高维度上问题 的复杂程度。  三 维  三维球体 的填充是 一个复杂得多 的问题,尽管它与二维在某些方面有些共同 的特点。例如,我们研究 的二维填充是 从一个单层构建 的。  在方形堆积中,我们把每一层都直接放在前一层 的上面。  在六方堆积中,我们将每个新层嵌套在前一层 的间隙中。  我们对每层 的堆积方式决定了三维中不同 的填充方式。  在三维空间中,不同 的填充来自于这样 的填充层。  这一层是 六方堆积填充 的,就像是 平面上最优 的堆积方式。同样,将第二层以类似 的方式堆叠上去,嵌套在球体之间 的间隙中。  三维中 的几何要稍微复杂一些。每层球体之间 的距离小于相邻球体 的距离,因此这些缝隙中不能填充球体,否则会重叠。这意味着两层之间 的缝隙会排成一行,形成一个小 的缝隙通道。  放置第三层时,有两个选项。一是 填充间隙,保持通道顺通。这是 侧面图:  为保持通道顺通,第三层 的球体放在第一层 的正上方,如上图所示。这种排列被称为“六方最密堆积(hexagonal close-packed,HCP)” ,当你从上往下看时,会看到一条通道。  第三层 的另一种排列方式是 封堵这个通道。将第三层放到第一层间隙 的正上方,  这个被称为“面心立方堆积(face-centered cubic,FCC)” 往下看,你看不透这个排列。  这两种相似但截然不同 的排列方式在化学上经常出现,它们用以描述不同材料中原子 的排列方式。(比如说,银和金等金属具有面心立方堆积结构,而锌和钛等金属具有六方最密堆积结构)。通过选用任一填充模式,都可以利用球体填充空间。在六方最密堆积中,每隔一层球体 的位置完全相同,而面心立方堆积中,每隔三层 的排列是 一样 的。  事实上,你可以任意混合模式创建不同 的填充方式,但是 对于面心立方和六方最密堆积这两种模式来说,它们都是 最好 的填充方式!它们不仅有相同 的堆积密度 ,而且还是 三维空间中可能填充密度最大 的排列。著名数学家、天文学家约翰内斯·开普勒在1611年就提出了这个猜想,但是 直到 1998年数学家托马斯·黑尔斯才给出了完整 的证明。  三维空间为有效地填充提供了更多 的选择。随着维度 的增加,填充 的方法变得越来越复杂:更多 的空间意味着更多 的可能性,也愈加难以可视化。不仅仅是 这个,随着维度 的增加,球体所占据 的空间就越小。  考虑边长为 1 的正方形 的内接圆:  圆 的半径为 0.5,因此圆相对于方形 的比例为:  同时也是 二维空间中最密堆积 的堆积密度。  现在我们来到三维空间中立方体内 的内接球。  此球体 的半径为 0.5,所以球体相对于立方体 的体积比例为:  值得留意 的是 ,三维空间中,立方体内接球体所占 的空间比例小于二维空间正方形内接圆所占 的比例,照此类比,随着空间维度 的增加,这个比例会减小,也就是 说,随着 n 的增大,n 维球体占据 的 n 维空间越来越小。  这个问题可以利用微积分来详细计算,但是 这里也可以利用角 的数目来理解。在每个维度中,我们都在 n 维 的立方体中插入了 n 维 的球体。球体 的边接触了立方体 的面,但是 没有接触立方体 的角,这代表立方体 的每个角附近 的区域都是 在立方体 的内部,球体 的外部。但是 一个 n 维 的盒子中,有 个角,这代表随着 n 的增加,球体未覆盖 的部分呈指数增长。不仅如此,角之间 的距离和球体之间 的距离也会随之增长。这代表着,从长远来看,n 维立方体内部,n 维球体外部 的空间会越来越多,使得球体所占 的空间相比越来越少。  如果空间占比逐渐缩小 的球体还不够令人感到奇怪,那么研究空间填充 的数学家们在8维和24维中发现 的东西就更令人惊讶了。在这些维度中,由于球体占比缩小产生 的空隙,足以利用新 的球体来填充,从而产生高维空间 的超致密填充物。这些填充被认为是 最优 的,这个结论数学家们直到2016年才确定:马林娜·维亚佐夫斯卡证明了8维 的填充,一个星期内,维亚佐夫斯卡及其合作者扩展到了24维 的证明。  维亚佐夫斯卡 的工作代表目前我们已经知道了从 1,2,3,8,24维空间中最优 的空间填充方式。但是 在其他维度上,还有更多 的工作需要展开。所以,拿出你 的橘子和汽水罐,试着摆弄一下这个填充游戏吧!或许,你就是 下一个发展这个理论 的人。  小练习:  1。 对于下面“简单立方” 的填充,这种排列 的堆积密度是 多少?  与平面上方形堆积一样,我们可以通过观察单个立方体来确定这种排列 的堆积密度。八个角上,每个角都有八分之一 的球体在立方体内部。因此立方体内部正好有一个整球。如果球体 的半径为 r,立方体 的边长为 2r,则填充密度为(球体 的体积除以立方体 的体积):  注意到,这正好是 立方体中那个填充 的球体 的比例。  2。 利用普通 的正八边形填充平面,其填充密度是 多少?  因为这本质上是 一个八边形 的方形填充,所以我们可以使用之前 的方法,观察一个连接四个相邻八边形中心 的正方形。请注意,正好有一个完整 的八边形,被分成四个部分,位于正方形内。边长s 的正八边形具有面积(可以通过各种方式分解八边形),并且在中间有一个边长为s 的方形。这使得堆积密度(八边形 的面积除以八边形 的面积与长度s 的方形 的面积之和):  值得注意 的是 ,这并不是 平面中最密集 的八边形分布,你能找到更有效 的填充方式么?澳门娱乐美高梅_官网

下一篇:外媒:黎巴嫩主要粮仓被炸毁 只剩不到一个月粮食存量 上一篇:资生堂上半年营利双降 8月起对董事降薪